PAU Matemàtiques 2009 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 5

PROBLEMES 5. Sigui la funció . a) Calculeu els valors de a i b, sabent que la recta 2x + 3y = 14 és tangent a la grà- fica de la funció f(x) en el punt d’abscissa x = 3. Per a la resta d’apartats, considereu que a = –3 i que b = 4. b) Trobeu els intervals de creixement i de decreixement de la funció f(x). Trobeu i classifiqueu els extrems relatius que té la funció. c) Calculeu els punts de tall de la funció f(x) amb l’eix OX. d) Trobeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f(x), l’eix OX i les rec- tes x = 1 i x = 3. [1 punt per lʼapartat a; 1 punt per lʼapartat b; 0,5 punts per lʼapartat c; 1,5 punts per lʼapartat d]

PROBLEMES x + b 5.- Sigui f(x) = a + 4 x2 . a) Calculeu els valors de a i b, sabent que la recta 2x + 3y = 14 és tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt d’abscissa x = 3. Per la resta d’apartats, considereu que a = −3 i que b = 4. b) Trobeu els intervals de creixement i de decreixement de la funció f(x). Trobeu i classi- fiqueu els extrems relatius que té la funció. c) Calculeu els punts de tall de la funció f(x) amb l’eix OX. d) Trobeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f(x), l’eix OX i les rectes x = 1 i x = 3. [1 punt per l’apartat a; 1 punt per l’apartat b; 0,5 punts per l’apartat c; 1,5 punts per l’apartat d] Solució a) Perquè la recta y = 14 −2x sigui tangent a f(x) en el punt x = 3 cal que f(3) = y(3) i que x2 −2b f′(3) = y′(3). Tenint en compte que f′(x) = −4 x3 , ens queda el sistema d’equacions 3 + b 9 −2b a + 4 9 = 8 −4 27 = −2 3 , i que té per solució a = 1 i b = 3. b) La funció, quan a = −3 i b = 4, és f(x) = −3 + 4 x + 4 x2 i la seva derivada és […]