PAU Matemàtiques 2009 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Considereu el sistema d’equacions següent: a) Expliqueu, raonadament, si es tracta d’un sistema lineal homogeni. b) Construïu-ne la matriu de coeficients i la matriu ampliada. c) Trobeu els valors del paràmetre a per als quals el sistema no és compatible determinat, i estudieu el caràcter del sistema en cada un d’aquests casos. d) Resoleu-lo solament quan el conjunt de les seves solucions és una recta de 3. [0,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b; 2 punts per lʼapartat c; 1 punt per lʼapartat d]

6.- Considereu el sistema d’equacions següent: 푥+ 5푦+ 푧+ 푎= 0 ⎫ ⎬ (푎−2)푧+ 푥+ 2푦−1 = 0 (푎−1)푦+ (1 −푎)푥+ 푧+ 푎+ 2 = 0 ⎭ 푎) Expliqueu, raonadament, si es tracta d’un sistema lineal homogeni. 푏) Construïu-ne la matriu de coeficients i la matriu ampliada. 푐) Trobeu els valors del paràmetre 푎per als quals el sistema no és compatible determinat, i estudieu el caràcter del sistema en cada un d’aquests casos. 푑) Resoleu-lo solament quan el conjunt de les seves solucions és una recta de ℝ3. [0,5 punt per l’apartat 푎; 0,5 punts per l’apartat 푏; 2 punts per l’apartat 푐; 1 punt per l’apartat 푑] Solució 푎) Un sistema d’equacions lineals és homogeni quan tots els termes independents són nuls, cosa que no passa al nostre cas; per exemple, el terme independent de la segona equació és −1 (o 1, si es considera translladat a la dreta de la igualtat). No és, doncs, un sistema homogeni. 푏) La matriu de coeficients del sistema i la matriu ampliada són, respectivament, 1 5 1 1 5 1 −푎 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 퐴= 1 2 푎−2 ⎠; 퐴= 1 2 […]