PAU Matemàtiques 2009 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 3

3. Donat el sistema : a) Discutiu-ne el caràcter en funció del paràmetre p. b) Resoleu-lo quan p = 2. [1,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b]

3.- Donat el sistema px + y = p : a) Discutiu-ne el caràcter en funció del paràmetre p. b) Resoleu-lo quan p = 2. [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b] Solució a) Escalonem la matriu ampliada del sistema, 1 1 p p p p | | ∼ p p 1 −p2 p −p2 1 | 0 | Analitzem el valor de l’element 1 −p2. Tenim que 1 −p2 = 0 si i sol si p = ±1. Per tant, Si p̸ = −1 i p̸ = 1, el sistema és compatible determinat, ja que el rang de la matriu del sistema i el de l’ampliada és 2, coincidint, a més a més, amb el número d’incògnites. −1 | −1 Si p = −1, la matriu escalonada és . El rang de la matriu del sistema és 1 i el 0 0 | −2 de l’ampliada és 2. El sistema és incompatible. 1 | 1 Si p = 1, la matriu escalonada és . El sistema és compatible indeterminat perquè el 0 0 | 0 rang de la matriu del sistema i el de l’ampliada coincideixen (valen 1), però és inferior al número d’incògnites. x + 2y = 2 x + 2y = 2 b) Per p = 2, el sistema és −3y = −2 . La solució és x = 2/3, y = 2/3. 2x + y = 2 o, escal […]