PAU Matemàtiques 2009 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Donats el pla π: x + 2y – z = 0 i el punt P = (3, 2, 1): a) Calculeu l’equació contínua de la recta r que passa per P i és perpendicular a π. b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π. [1 punt per cada apartat]

4.- Donats el pla π : x + 2y −z = 0 i el punt P = (3, 2, 1): a) Calculeu l’equació contínua de la recta r que passa per P i és perpendicular a π. b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π. [1 punt per cada apartat] Solució a) Els coeficients de l’equació del pla ens proporcionen el seu vector característic, que ens pot servir com a vector director de la recta buscada. Per tant, l’equació d’aquesta recta és r : x −3 = y −2 = z −1 1 2 −1 b) El punt de tall entre r i π és el punt mig entre el punt P i el seu simètric respecte del pla π. P r π M S Busquem aquest punt, al qual anomenarem M. (x, y, z) ∈r ⇐⇒x = 3 + λ, y = 2 + 2λ, z = 1 −λ (x, y, z) ∈π ⇐⇒x + 2y −z = 0 Llavors, (3+λ)+2(2+2λ)−(1−λ) = 0 ⇐⇒6λ+6 = 0 ⇐⇒λ = −1. El punt de tall és M = (2, 0, 2). Si anomenem S = (xs, ys, zs) al punt simètric, tenim −−→ PM = −−→ MS ⇐⇒(2, 0, 2) −(3, 2, 1) = (xs, ys, zs) −(2, 0, 2) ⇐⇒xs = 1, ys = −2, zs = 3 El punt simètric és S = (1, −2, 3).