PAU Matemàtiques 2009 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Siguin P = (3 – 2a, b, –4), Q = (a – 1, 2 + b, 0) i R = (3, –2, –2) tres punts de l’espai 3. a) Calculeu el valor dels paràmetres a i b per als quals aquests tres punts estiguin alineats. b) Trobeu l’equació contínua de la recta que els conté quan estan alineats. c) Quan b = 0, trobeu els valors del paràmetre a perquè la distància entre els punts P i Q sigui la mateixa que la distància entre els punts P i R. d) Si b = 0, calculeu el valor del paràmetre a perquè els punts P, Q i R determinin un triangle equilàter. [1 punt per cada apartat]

6.- Siguin P = (3 −2a, b, −4), Q = (a −1, 2 + b, 0) i R = (3, −2, −2) tres punts de l’espai R3. a) Calculeu el valor dels paràmetres a i b per als quals aquests tres punts estiguin alineats. b) Calculeu l’equació contínua de la recta que els conté quan estan alineats. c) Quan b = 0, trobeu les valors del paràmetre a perquè la distància entre els punts P i Q sigui la mateixa que la distància entre els punts P i R. d) Si b = 0, calculeu el valor del paràmetre a perquè els punts P, Q i R determinin un triangle equilàter. [1 punt per cada apartat] Solució a) Els punts P, Q i R estan alineats si i sol si −−→ PQ = k · −→ PR, és a dir, si i sol si (3a −4, 2, 4) = k(2a, −2 −b, 2) D’aquí, cal que 3a−4 = 2ka, 2 = k(−2−b) i 4 = 2k. De l’última equació se’n treu que k = 2 i, llavors, a = −4 i b = −3. b) Per a = −4 i b = −3, els punts són P = (11, −3, −4), Q = (−5, −1, 0) i R = (3, −2, −2). La recta que passa per P i Q (i, per tant, també per R) té per equació contínua c) Quan b = 0 els punts són P […]