PAU Matemàtiques 2006 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Considereu la funció f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 7. a) Calculeu c sabent que la seva recta tangent en el punt d’abscissa x = 0 és horitzontal. b) Per al valor de c trobat a l’apartat anterior, calculeu a i b sabent que aquesta funció té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = –2 i que talla l’eix OX quan x = 1. c) Per als valors obtinguts als altres apartats, calculeu els intervals on la funció creix i decreix, els seus extrems relatius i feu una representació gràfica apro- ximada. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt; apartat c) 2 punts. Total: 4 punts] Generalitat de Catalunya Consell Interuniversitari de Catalunya Matemàtiques Organització de Proves d’Accés a la Universitat sèrie 3 PAU. Curs 2005-2006 A continuació trobareu l’enunciat de quatre qüestions i de dos problemes. Trieu no- més tres de les quatre qüestions per respondre i un dels dos problemes per resol- dre. En les respostes que doneu heu d’explicar sempre què us proposeu de fer i per què. Podeu fer servir qualsevol mena de calculadora, llevat de les que treballin amb un sistema operatiu d’ordinador tipus WINDOWS/LINUX. Puntuació de cada qüestió: 2 punts. Total de qüestions i puntuació: 3 x 2 = 6 punts. Puntuació del problema: 4 punts.

= + + + + 6. Considereu la funció ( ) 7 . f x x ax bx cx a) Calculeu c sabent que la seva recta tangent en el punt d’abscissa = 0 és x horitzontal. b) Per al valor de c trobat a l’apartat anterior, calculeu a i b sabent que aquesta funció = −2 = 1 té un extrem relatiu en el punt d’abscissa i que talla a l’eix OX quan . x x c) Per als valors obtinguts als altres apartats, calculeu els intervals on la funció creix i decreix, els seus extrems relatius i feu una representació gràfica aproximada. 3 2 = = + + + a) La condició equival a demanar '(0) 0 . Com que '( ) 4 3 2 c , llavors f f x x ax bx = 0 . c b) La condició d’extrem relatiu a = −2 és − = , és a dir, − + − = . '( 2) 0 32 12 4 0 x f a b La de tall a l’eix OX quan = 1 correspon a = i, per tant, + + + = . (1) 0 1 7 0 x f a b − = ⎫ 3 8 a b Per tot això, cal resoldre que té per solució = 0, = − 8 . ⎬ a b + = −⎭ a b 4 2 = − + c) Els càlculs anteriors condueixen a ( ) 8 7 , que té per derivada f x x x = − '( ) 4 16 = x . Per trobar els e […]