PAU Matemàtiques 2005 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 5

PROBLEMES Considereu la funció f(x) = 3 – x 2 i un punt de la seva gràfica, M, situat en el primer 5. quadrant (x ≥0, y ≥0). Si pel punt M tracem paral·leles als eixos de coordenades, la seva intersecció amb OX i OY determina dos punts, A i B, respectivament. a) Feu un gràfic dels elements del problema. b) Trobeu les coordenades del punt M que fa que el rectangle OAMB tingui l’àrea màxima. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 3 punts. Total: 4 punts]

PROBLEMES f x ( ) 3 x i un punt, M , de la seva gràfica situat al = − 5. Considereu la funció x 0, y 0 ). Si pel punt M tracem paral·leles als eixos de ≥ ≥ primer quadrant ( coordenades, la seva intersecció amb OX i OY determinen dos punts, A i B respectivament. Es demana: a) feu un gràfic dels elements del problema; b) trobeu les coordenades del punt M que fa que el rectangle OAMB tingui àrea màxima. SOLUCIÓ a) [1 punt] A M O B ( ) M a ,3 a 2 a ≥ 0 . L’àrea del rectangle OAMB és = − b) [3 punts] Sigui , amb ( ) S a 3 a 2 3 a a 3 S′ = 0 = ⋅ − = − . Per trobar-ne el mínim, resolem , és a dir, 3 3 a 0 a = ± . Ens quedem només amb la solució positiva, 1 a = . − = . Tenim que . Així, el punt M demanat és ( ) S′′ (1) 6 0 1,2 . = −> Estem en un mínim perquè Puntueu amb 1 punt el trobar correctament la funció àrea. Puntueu amb 2 punts el trobar el mínim i la comprovació de mínim. Penalitzeu amb 0,5 punts els que oblidin donar com a resposta les coordenades de M .