PAU Matemàtiques 2005 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 5

PROBLEMES La recta tangent a la paràbola y = 3 – x 2 en un punt M situat dins del primer quadrant 5. (x > 0, y > 0), talla l’eix OX en el punt A i l’eix OY en el punt B. a) Feu un gràfic dels elements del problema. b) Trobeu les coordenades del punt M que fan que el triangle OAB tingui l’àrea mínima. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 3 punts. Total: 4 punts] Considereu la funció f(x) = 4 x – x2.

PROBLEMES = − y 3 x 2 en un punt M situat dins del primer 5. La recta tangent a la paràbola > > x 0, y 0 ), talla l’eix OX en el punt B i l’eix OY en el punt A . Es quadrant ( demana: a) feu un gràfic dels elements del problema; b) trobeu les coordenades del punt M que fan que el triangle OAB tingui àrea mínima. SOLUCIÓ a) [1 punt] A M B O ( ) = − a > b) [3 punts] Les coordenades del punt M seran M a ,3 a 2 0. , amb Com ′ = − que la derivada de la funció en el punt d’abscissa a és y a ( ) 2 a , l’equació de la recta tangent per el punt M serà ( ) ( ) − − = − − + −− = 2 2 y 3 a 2 a x a , que arreglada queda com 2 ax y 3 a 0 . Els punts   + 2 3 a ( ) =  = + 2 d’intersecció amb els eixos seran: B ,0 i A 0,3 a . El triangle  2 a   OAB és rectangle i la seva àrea és: ( ) + 2 3 a + 2 1 3 a ( ) = ⋅ + 2 ⋅ = S 3 a 2 2 a 4 a ( )( ) + 2 2 − 3 a 3 a 3 ′ = S és funció de a . Per trobar-ne el mínim, calculem S a ( ) . Els 4 a 2 a = ± . Descartem el valor negatiu i examinem el signe de zeros de […]