PAU Matemàtiques 2005 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Considereu la funció f (x) = x2 + x + b  si x < 0  aebx si x ≥ 0  on a i b són nombres reals. a) Quina condició han de complir a i b per tal que f sigui contínua a tot R? b) Trobeu els valors de a i b per als quals f sigui contínua però no derivable a tot R. 1∫ c) Per a a = 1 i b = 1, calculeu f (x) dx . –1 [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt; apartat c) 2 punts. Total: 4 punts]

6. Considereu la funció ⎧ 2 x x b si x<0 + + = ⎨ f x ( ) ae bx si x 0 ≥ ⎩ on a i b són nombres reals. Es demana: a) Quina condició han de complir a i b per tal que f sigui contínua a tot R? b) Trobeu els valors de a i b pels quals f sigui contínua però no derivable a tot R. −∫ a = i 1 b = , calculeu 1 f x dx ( ) c) Per . SOLUCIÓ. 2x x b a e bx a) [1 punt] Tant + + ⋅ com són funcions contínues en tot R. Per tant, l’únic punt on f pot tenir una discontinuïtat és a x = 0 . Estudiem els límits laterals en el punt 0: f x ( ) b f x ( ) a lim = lim = ; . − + x → 0 x → 0 Per tal que f sigui contínua a x = cal, doncs, que a b 0 = . Penalitzeu amb 0,5 els que no comentin res de la continuïtat de f fora de x = 0 . b) [1 punt] Si derivem f , obtenim: ⎧ 2 x 1 si x<0 + = ⎨ f ′ ( ) x . bx abe si x 0 ⎩ ≥ Per tal que f ′ existeixi en el punt x = 0 f ′ ( ) x f ′ ( ) x lim = lim , cal novament que . O − + x → 0 x → 0 sigui, cal que 1 ab . Com que la condició de continuïtat és que a b = = , tenim que a 1 […]