PAU Matemàtiques 2005 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Donats els punts A = (1, 0, 0) i B (0, 0, 1): x =   1 + λ a) Trobeu un punt C sobre la recta d’equació paramètrica y = que faci que el  triangle ABC sigui rectangle en C. 1 + λ z = b) Trobeu l’àrea del triangle ABC. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt. Total: 2 punts]

4. Donats els punts i es demana: ⎧ x 1 = ⎪ a) trobeu un punt C sobre la recta d’equació paramètrica ⎨ y 1 = + λ que ⎪ z 1 = + λ ⎩ faci que el triangle ABC sigui rectangle en C ; b) trobeu l’àrea del triangle ABC . SOLUCIÓ ( ) C 1,1 ,1 . Per tal que el triangle ABC sigui = + λ + λ a) [1 punt] El punt JJJG JJJG rectangle en C , els vectors CA (0, 1 , 1 ) CB ( 1, 1 , ) = −− λ −− λ = −−− λ − λ i han de ser ortogonals, és a dir JJJG JJJG ( ) ( ) CA CB 0 1 1 0 1; ⋅ = ⇔ + λ + λ + λ = ⇔ λ = − λ = − . ⎛ ⎞ 1 1 ( ) = ⎜ C = 1,0,0 C 1, , Això ens dóna dos punts solució: i ⎟ . El primer punt, ⎝ 2 2 ⎠ clarament és igual a A i fa que no hi hagi cap triangle. La única solució és, ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ C 1, , doncs, ⎟ . ⎝ 2 2 ⎠ JJJG JJJG ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ CA 0, , CB 1, , = − − = −− b) [1 punt] Els catets del triangle seran ⎜ ⎟ i ⎜ ⎟ . ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ JJJG JJJG L’àrea serà, doncs, 1 1 1 3 3 CA CB ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = unitats d’àrea. 2 2 2 2 4