PAU Matemàtiques 2005 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 2

2. Considereu els vectors de R3: → → → = (–1, 3, 4), v2 = (2, –1, – 3) i v3 = (1, 2k + 1, k + 3). v1 a) Trobeu l’únic valor de k per al qual aquests vectors no són una base de R3. b) Per a un valor de k diferent del que heu trobat en l’apartat a), quins són els components { } → → → → → → → , v2 , v3 del vector en la base v1 ? w =v1 +v2 +v3 [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt. Total: 2 punts] r: x – 3 = y –1 –3 = z + 2

2. Considereu els vectors de G G G ( ) ( ) ( ) v = − 1,3,4 v = 2, 1, 3 v 1,2 k 1, k 3 −− = + + , i . 1 2 3 a) Trobeu l’únic valor de k per al qual aquests vectors no són una base de R . b) Per un valor de k diferent del que heu trobat a l’apartat a), quins són els G G G G en la base { G G G } w v v v v v v , , = + + components del vector ? 1 2 3 1 2 3 SOLUCIÓ. R no són base si no són linealment independents. Això a) [1 punt] Tres vectors de passarà quan el determinant format pels tres vectors valgui 0: 1 3 4 − 2 1 3 5 k 15 0 k 3 − − = − = ⇔ = . 1 2 k 1 k 3 + + Al mateix resultat s’arriba imposant que el rang de la matriu formada pels tres vectors, no sigui 3: ⎛ 1 3 4 ⎞ ⎛ 1 3 4 ⎞ ⎛ 1 3 4 ⎞ ⎛ 1 3 4 ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 1 3 ~ 0 5 5 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 ⎜ − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 k 4 k 3 0 2 k 4 k 7 0 2 k 4 k 7 0 0 k 3 + + + + + + − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G G G G G G té clarament els b) [1 punt] Si { } v v v , , w v v v = + + és una base, el vector 1 2 3 1 2 3 components ( ) 1, […]