PAU Matemàtiques 2005 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

Considereu la funció f(x) = 4 x – x2. 6. a) Calculeu l’equació de les rectes tangents a la gràfica de f en els punts d’abscisses x = 0 i x = 4. b) Feu un gràfic dels elements del problema. c) Calculeu l’àrea compresa entre la gràfica de f i les rectes tangents que heu trobat a l’apartat a). [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt; apartat c) 2 punts. Total: 4 punts]

f x ( ) 4 x x 6. Considereu la funció . Es demana: a) calculeu l’equació de les rectes tangents a la gràfica de f en els punts x = x = 0 4 d’abscisses i ; b) feu un gràfic dels elements del problema; c) calculeu l’àrea compresa entre la gràfica de f i les rectes tangents que heu trobat a l’apartat a). SOLUCIÓ ′ = − a) [1 punt] La derivada de f és f ( ) x 4 2 x . Els pendents de les rectes ( ) ( ) f ′ f ′ = = − La recta tangent en el punt 0 4 4 4 tangents demanades són i ( ) i la recta tangent en el punt ( ) = 0,0 té per equació y 4 x 4,0 és = − + y 4 x 16 . Puntueu 1 punt per cada tangent trobada. Penalitzeu els errors de càlcul. b) [1 punt] P 0 4 ( ) P = 2,8 c) [2 punts] La intersecció de les dues tangents és el punt (vegeu la gràfica). L’àrea demanda la calcularem en dos trossos: l’àrea per sota de = y 4 x i per sobre de f x entre 0 i 2: ( ) 2   x 8 ∫ − + = = (4 x 4 x x ) dx .   3 3   0 0 = − + y 4 x 16 f x entre 2 i 4: ( ) I l’àrea per sota de i per sobre de 4   x 8 ∫ − + − […]