PAU Matemàtiques 2005 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Trobeu la distància entre la recta i el pla 4 –3 3 π: 3x + 4y + 7 = 0. [2 punts]

3. Trobeu la distància entre la recta r : i el pla − 4 3 3 π + + = : 3 x 4 y 7 0 . SOLUCIÓ [2 punts] Trobem primer la posició relativa de la recta i el pla. Com que r r ( ) ( ) n = v = − el vector normal del pla 3,4,0 i el vector director de la recta, 4, 3,3 r r ⋅ = n v 0 tenen producte escalar, , resulta que la recta és o bé paral·lela al pla, o està continguda en ell. Com que el punt de la recta ( ) − no pertany a π , 3,1, 2 ( ) ⋅+ ⋅+ ≠ , r i π són paral·lels. La distància entre la recta i el pla serà la de 3 3 4 1 7 0 qualsevol punt de la recta al pla. La distància de (3,1,-2) (per exemple) al pla és: ⋅+ ⋅+ 3 3 4 1 7 20 = = 4 unitats. + 2 2 3 4 Puntueu amb 1 punt per trobar la posició relativa i 1 punt per la distància correcta. ( ) A = − − 1,4, 2 i extrem B està dividit en cinc parts