PAU Matemàtiques 2004 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Donats la funció f(x) = i el punt A(2, 0) situat sobre l’eix de les abscisses: x a) Trobeu la funció que expressa la distància del punt A a un punt qualsevol de la gràfica de la funció. b) Trobeu les coordenades del punt de la gràfica de f(x) més proper a A. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 3 punts. Total: 4 punts]

6. Donats la funció f x x i el punt A(2,0) situat sobre l’eix de les abscisses, es demana: a) trobeu la funció que expressa la distància del punt A a un punt qualsevol de la gràfica de la funció; b) trobeu les coordenades del punt de la gràfica de f x ( ) més proper a A. SOLUCIÓ. a) [1 punt] Un punt qualsevol de la gràfica de la funció és ( ) x , x . La distància a A és: ( ) 2 ( ) = − + = − + d x x 2 x x 3 x 4 . b) [3 punts] El punt que ens demanen ha de fer mínima la funció d(x): − 2 x 3 3 = = ⇒ − = ⇒ = d '( ) x 0 2 x 3 0 x . − + 2 x 3 x 4 2 ( ) .] [També es pot calcular el punt on s’assoleix el mínim de la funció d x < < En aquest punt hi ha un mínim de d(x) atès que per x , d '( ) x 0 i per > > x , d '( ) x 0 . El criteri de la segona derivada porta a la mateixa conclusió: 7   = > d ''( ) x ; d '' 0 . ( ) 3 2 / 2 2 − + 4 x 3 x 4   Per tant el punt demanat és 3 3   , .  2 2  Puntueu 2 punts per trobar correctament el valor x=3/2 i 1 punt per la comprovació de mínim.