PAU Matemàtiques 2004 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 2

2. Considereu els punts de l’espai A(0, 0, 1), B(1, 1, 2) i C(0, –1, –1). a) Trobeu l’equació del pla ABC. b) Si D és el punt de coordenades (k, 0, 0), quant ha de valer k per tal que els quatre punts A, B, C i D siguin coplanaris? [2 punts]

2. Considereu els punts de l’espai A(0,0,1), B(1,1,2) i C(0,-1,-1). a) Trobeu l’equació del pla ABC. b) Si D és el punt de coordenades (k,0,0), quant ha de valer k per tal que els quatre punts A, B, C i D siguin coplanaris? SOLUCIÓ. a) [1 punt] L’equació del pla determinat per A, B i C és x 1 0 − = −+ − + = . y 1 1 x 2 y z 1 0 − − z 1 1 2 r r = ( , , ) = −− (Hem fet servir A com a punt base i AB 111 i AC ( , 0 1 2 com a vectors , ) directors del pla). També són igualment vàlides les equacions vectorial o paramètrica: =  x s  ( ) ( ) ( ) ( ) = + ⋅ + ⋅ − − = − x y z , , 0 0 1 , , s 1 1 1 , , t 0 , 1 , 2 ; y s t  = + − z 1 s 2 t b) [1 punt] Substituint x, y i z per les coordenades del punt D(k,0,0) a l’equació ge- neral obtenim -k+1=0. Per tant k=1. El punt D(1,0,0) és coplanari amb A, B i C. Això mateix es pot fer amb l’equació vectorial o paramètrica del pla trobant el valor dels paràmetres s i t que fan compatible el sistema: =  k s =  s 1  = − ⇒ ⇒ = 0 s t k 1.  = t 1   = […]