PAU Matemàtiques 2004 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 5

PROBLEMES Considereu la funció f(x) = x3 + mx 2 + 1, m ≥0. 5. a) Calculeu el valor de m per tal que l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció, l’eix OX i les rectes x = 0 i x = 2 sigui de 10 unitats quadrades. b) Per a m = 1, indiqueu el punt o els punts on la recta tangent a la gràfica de la funció forma un angle de 45° amb el semieix positiu de OX. [Puntuació: apartat a) 2 punts; apartat b) 2 punts. Total: 4 punts]

PROBLEMES = + + ≥ 5. Considerem la funció f x ( ) x 3 mx 2 1 , m 0 . a) Calculeu el valor de m per tal que l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció, l’eix OX i les rectes x=0 i x=2 sigui de 10 unitats quadrades. b) Per a m=1, indiqueu el punt o els punts on la recta tangent a la gràfica de la funció forma un angle de 45º amb el semieix positiu de OX. SOLUCIÓ. a) [2 punts] La funció es manté positiva per sobre de l’interval [ ] 0 2, perquè per x ≥0 i m ≥0 forçosament x 3 + 2 + ≥ mx 1 1 . Alternativament es pot raonar que ( ) es manté positiva a l’interval [ ] = '( ) = 2 + ≥ f x 0 2, perquè f ( ) 0 1 i f x 3 x 2 mx 0 [ ] x ∈0 2, (recordem que m ≥0) . per En conseqüència, l’àrea del recinte que ens diu l’enunciat és 4 3 x m x 8 m ( ) ∫ 3 + 2 + = + + = + x mx 1 dx x 6 . 4 3 3 Així, 8 m 3 + = ⇒ = 6 10 m . 3 2 ( ) ≥0 a l’interval [ ] Valoreu 0,5 punts el raonament que f x 0 2, . = 3 + 2 + b) [2 punts] Per m=1 la funció és f x ( ) x x 1 El pendent de la recta tangent . que ens d […]