PAU Matemàtiques 2004 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Considereu les matrius A = 2 1 , B = 1 2     .    1 1 2 2 Trobeu una matriu X que compleixi A · X + A = B. [2 punts]

3. Considereu les matrius =  2 1  =  1 2  A   , B   . 1 1 2 2 ⋅ + = Trobeu una matriu X que compleixi A X A B . SOLUCIÓ. [2 punts] La matriu X només pot ser quadrada d’ordre 2. El problema es pot =  a b  ⋅ + resoldre directament, fent X   i efectuant A X A i igualant a B. S’obté el c d sistema d’equacions: + = − = −  2 a c 1  a 2   + = = = − a c 1 b 0  2 0  ⇒ ⇒ X     . + = = 2 b d 1 c 3 3 1     + = = b d 1 d 1   També és pot resoldre directament l’equació matricial: + = ⇒ = − ⇒ = −1( − AX A B AX B A X A B A ) −  1 1  La inversa de A és A−= 1   . − 1 2 Ara, −   = −  1 1  ⋅ 1 2  − 2 1   2 0  = −1 − = X A ( B A )        . − 1 2 2 2 1 1 3 1   Puntueu 1 punt si es planteja correctament el sistema o s’obté X correctament aïllada. L’altre punt per la resolució correcta.