PAU Matemàtiques 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 2

2. a) Donada la funció , calculeu l’equació de la recta tangent a y = f(x) en el punt d’abscissa x = 1. Trobeu també l’equació de la recta normal a y = f(x) en aquest mateix punt. [1,25 punts] b) Feu un esbós de les gràfiques de la corba y = f(x) i de la recta 4x + y = 8, i calculeu l’àrea delimitada per aquestes dues gràfiques, l’eix de les abscisses i la recta vertical x = 3. [1,25 punts]

L’equació de la recta tangent a 𝑦= 𝑓(𝑥) en el punt 𝑥= 1 és: 𝑦−𝑓(1) = 𝑓′(1) · (𝑥−1) Fem els càlculs: 𝑓(𝑥) = 4 𝑥→𝑓′(𝑥) = −4 𝑥2 Així 𝑓(1) = 4 i 𝑓′(1) = −4 L’equació de la recta tangent demanada és: 𝑦−4 = −4 · (𝑥−1) →𝑦= −4𝑥+ 8 →4𝑥+ 𝑦= 8 L’equació de la recta normal es pot calcular a partir de l’equació: 𝑦−𝑓(𝑎) = −1 𝑓′(𝑎) · (𝑥−𝑎) 𝑦−4 = −1 −4 · (𝑥−1) →4𝑦−16 = 𝑥−1 →𝑥−4𝑦= −15 b) Per fer l’esbós de la gràfica n’hi ha prou veient que:  𝑥= 0 no és del domini  𝑓 és continua  𝑥2 < 0, per tant, 𝑓 és decreixent 𝑓′(𝑥) = −  Els eixos de coordenades són rectes asímptotes a la funció. La recta donada, és la recta tangent en el punt (1,4). L’àrea demanada és la regió 𝐴𝐵𝐶𝐷, que es pot obtenir restant l’àrea del triangle 𝐴𝐷𝐸, de la regió 𝐴𝐵𝐶𝐸: 𝐴𝑇= ∫4 1 −1 · 4 −𝐴𝐴𝐷𝐸= [4 𝑙𝑛(𝑥)]3 = 𝑥 𝑑𝑥 = 4[(𝑙𝑛(3) −𝑙𝑛(1)] −2 = 4 𝑙𝑛(3) −2 = 2,39𝑢2 a) 0,25 punts pel plantejament, on es digui que la recta tangent té pendent 𝑓′(𝑎). 0,5 punts per l’expressió de la recta tangent. 0,5 punts per l’expressió de la recta normal. b) […]