PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 2

2. Considereu la funció f(x) = x3 i sigui a un nombre real estrictament positiu. a) Calculeu l’equació de la recta t tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = a. Trobeu el punt de tall de la recta t amb l’eix de les abscisses (en funció de a). [1,25 punts] b) Feu un esbós de la gràfica de la funció f i la recta t. Calculeu el valor de a perquè l’àrea en el primer quadrant limitada per la funció f, la recta t i l’eix de les abscisses sigui 108 u2. [1,25 punts]

a) Aplicarem l’equació: 𝑦= 𝑓′(𝑎) · (𝑥−𝑎) + 𝑓(𝑎) . Com que 𝑓(𝑥): 𝑦= 𝑥3 , 𝑓(𝑎) = 𝑎3, 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2, així que 𝑓′(𝑎) = 3𝑎2 i tindrem 𝑦= 3𝑎2 · (𝑥−𝑎) + 𝑎3 →𝑡: 𝑦= 3𝑎2𝑥−2𝑎3 . El punt de tall de la recta 𝑡 amb l’eix de les abscisses (𝑦= 0) és: 2𝑎3 0 = 3𝑎2 · 𝑥−2𝑎3 → 𝑥= 2 2 3 𝑎, així que el punt de tall és 𝑃= ( 3 𝑎, 0) . 3𝑎2 = b) L’àrea que ens demanen és la regió ombrejada de la figura i es pot calcular fent l’àrea limitada per la funció 𝑓, entre 𝑥= 0 i 𝑥= 𝑎, menys l’àrea del triangle format per la recta tangent 𝑡 i l’eix d’abscisses entre 𝑥= 3 𝑎 i 𝑥= 𝑎. (𝑎 − 2 𝑎 3𝑎)·𝑎3 𝑥4 𝑎4 𝑎4 𝑎4 𝑎 𝐴𝑇= ∫𝑥3 𝑑𝑥−𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒= [ 12, 4 ]| − = − 6 = 0 2 4 𝑎4 12 = 108 →𝑎4 = 1296 → 𝑎= 6 així que Observació: També es pot calcular mitjançant la integral 3𝑎 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+ ∫(𝑓(𝑥) −𝑡(𝑥))𝑑𝑥. 𝐴𝑇= ∫ 0 3𝑎