PAU Matemàtiques 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 4

4. a) En la figura es mostra la gràfica de la fun­ ció f(x). Representeu de manera esquemà­ tica la gràfica de la funció derivada de f(x). Expliqueu el raonament que heu seguit. [1,25 punts] b) Calculeu els valors de a i b perquè la funció g(x) = ax3 + bx2 + 1 tingui un punt d’infle­ xió en i la seva derivada en aquest punt sigui . [1,25 punts]

 La funció derivada passa pels punts (0,0) i (1,0) perquè són els punts on 𝑓(𝑥) presenta els extrems relatius.  𝑓(𝑥) és creixent quan 𝑥< 0 i quan 𝑥> 1 per tant la funció derivada és positiva en aquestes dues semirectes.  𝑓(𝑥) és decreixent quan 0 < 𝑥< 1 per tant, en aquest interval la derivada és negativa.  La funció 𝑓(𝑥) té un punt d’inflexió en un punt proper a 𝑥 = 2 que coincidirà amb un mínim en la funció derivada. b) 1 3 1 Imposem que 𝑔′ ( 2 i que 𝑔′′ ( 2) = 0 2) = − 1 1 3 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 1 →𝑔′(𝑥) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥→ 3𝑎(  2) + 2𝑏 2 = − 2 →3a + 4b = −6  2 + 2𝑏= 0 →3𝑎+ 2𝑏= 0 𝑔’’(𝑥) = 6𝑎𝑥+ 2𝑏→6𝑎 D’aquestes dues equacions {3𝑎+ 4𝑏= −6 3𝑎+ 2𝑏= 0 es dedueix que 𝑎= 2 i 𝑏= −3 a) 0,5 punts per la gràfica de la funció derivada 0,25 punts per observar que als extrems relatius la derivada s’anul·la 0,25 punts per observar el signe de la derivada segons el creixement i el decreixement 0,25 punts per observar que el mínim de la funció derivada coincideix amb el punt d’inflexió b) 0,25 punts p […]