PAU Matemàtiques 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Considereu la funció . a) Estudieu si té punts crítics i, en cas que en tingui, justifiqueu de quin tipus són. Determineu també quins són els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,5 punts] b) Comproveu que l’equació f(x) = 0 té una única solució en l’interval (–2, 1). [1 punt]

Per trobar els punts crítics, calculem la primera derivada i la igualem a zero: 3𝑥2(𝑥−2)−𝑥3 2𝑥2(𝑥−3) 𝑓′(𝑥) = (𝑥−2)2 = 0 →𝑥= 0 o bé 𝑥= 3 = (𝑥−2)2 Tenim dos punts crítics 𝑥= 0 i 𝑥= 3. Classifiquem-los a partir del signe de la primera derivada: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥2(𝑥−3) = {≥0 si 𝑥≥3 < 0 si 𝑥< 3 (𝑥−2)2 Així per 𝑥< 3 la funció és decreixent i per 𝑥> 3 la funció és creixent. Cal tenir en compte que per 𝑥= 2 la funció no està definida. Així la funció és decreixement en: (−∞, 2) ∪(2,3) i és creixent en (3, +∞). Si es considera monotonia estricta caldria excloure també 𝑥= 0. Com que en un entorn de 𝑥= 0 la funció és decreixent i és un punt crític, es tracta d’un punt d’inflexió. En canvi per 𝑥< 3 la funció és decreixent i per 𝑥> 3 la funció és creixent, per tant, en 𝑥= 3 fa un mínim relatiu. b) La funció és continua en l’interval (−2,1) ja que és un quocient de polinomis, que són funcions contínues i el denominador no s’anul·la. Avaluem la funció en els extrems de l’interval: −8 1 −4 = 2 > 0 i 𝑓(1) = −1 […]