PAU Matemàtiques 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 3

3. En ℝ3 es donen els punts A = (3, 1, 1), B = (0, 0, 1), C = (4, 1, 2) i D = (1, 1, t), en què t és un valor real. a) Per a quin valor de t els quatre punts són coplanaris? [1 punt] b) Trobeu el valor de t per tal que el tetraedre (irregular) que formen els quatre punts tingui un volum de 5u3. [1,5 punts] Nota: El volum d’un tetraedre definit pels vectors v1, v2 i v3 és igual a un sisè del valor absolut del determinant de la matriu formada per tots tres vectors, .

Quatre punts són coplanaris si pertanyen al mateix pla. Considerem els tres vectors que tenen origen en un dels punts, per exemple, el punt 𝐵 i extrem en cada un dels altres tres punts: 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = (3,1,0), 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (4,1,1) i 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1, 𝑡−1) Per a que els quatre punts siguin coplanaris, cal que aquests tres vectors siguin linealment dependents, és a dir: 3 4 1 | = 3𝑡−3 + 1 −(3 + 4𝑡−4) = −𝑡−1 = 0 →𝑡= −1 | 1 1 1 0 1 𝑡−1 Així per 𝑡= −1 els quatre punts donats són coplanaris. b)   t 1 Per , els quatre punts no són coplanaris, per tant, formaran un tetraedre. 6 |𝑑𝑒𝑡(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )|: Per calcular-ne el volum fem servir la fórmula 𝑉= 3 4 1 |−𝑡−1| Així, 𝑉= 6 || 1 1 1 || = 0 1 𝑡−1 Atès que volem trobar 𝑡 tal que 𝑉= 5𝑢3 tenim que: 𝑉= |−𝑡−1| = 5 →|−𝑡−1| = 30 →{ −𝑡−1 = 30 −𝑡−1 = −30 →{𝑡= −31 𝑡= 29 De manera que tenim dues solucions: 𝑡= −31 i 𝑡= 29. a) 0,5 punts pel plantejament, on s’indiqui la condició per a que quatre punts siguin coplanaris. 0,5 punts per la solució. b) 0 […]