PAU Matemàtiques 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 5

5. Sigui la matriu , en què a és un paràmetre real. a) Trobeu per a quins valors de a la matriu A és invertible. [1 punt] b) Comproveu que, per al cas a = 3, la matriu A és invertible i resoleu l’equació matri- cial A X = B – 3I, en què B és la matriu . [1,5 punts]

Calculem el determinant de la matriu 𝐴: 𝑎 𝑎 0 | = 𝑎(𝑎2 −3𝑎+ 2) = 𝑎(𝑎−1)(𝑎−2) |𝐴| = | 2 𝑎+ 1 𝑎−1 2𝑎+ 1 0 −𝑎−3 Aleshores, per a tot 𝑎 ≠0, 1, 2 tenim que |𝐴| ≠0 i la matriu és invertible. b) 3 3 0 Per 𝑎= 3 la matriu és 𝐴= ( ) 2 4 2 7 0 −6 El determinant de la matriu 𝐴 és |𝐴| = 6 ≠0, per tant, 𝐴 és invertible. Calculem la inversa: −4 3 1 −24 18 6 𝐴−1 = 1 −3 −1 6 ( ) = 26 −18 −6 3 −14 7 −28 21 6 1 ) ( 3 2 Així, podem resoldre l’equació donada, multiplicant per l’esquerra cada banda de l’equació per la matriu inversa de 𝐴: 𝐴· 𝑋= 𝐵−3𝐼 → 𝐴−1 · 𝐴· 𝑋= 𝐴−1 · (𝐵−3𝐼) → 𝑋= 𝐴−1 · (𝐵−3𝐼) 6 3 3 3 0 0 3 3 3 ) 𝐵−3𝐼= ( 2 5 2 ) −( 0 3 0 ) = ( 2 2 2 1 1 4 0 0 3 1 1 1 Finalment obtenim 𝑋: −4 3 1 3 3 3 −5 −5 −5 ( −3 −1 𝑋= 𝐴−1 · (𝐵−3𝐼) = ) ) = ( 3 2 2 2 6 6 6 −14 7 1 1 1 −6 −6 −6 1 ) 3 2 ( a) 0,5 punts pel determinant de 𝐴. 0,5 punts pels valors que fan que la matriu sigui invertible b) 0,25 punts per justificar que 𝐴 és invertible 0,5 punts per resoldre l’equació matricial per trobar 𝑋 0,5 punts pel càlcul de […]