PAU Matemàtiques 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 1

1. Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k: a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. [1,25 punts] b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas k = 1, i feu-ne una interpretació geomètrica. [1,25 punts]

1. a) Escrivim el sistema en forma matricial. La matriu de coeficients i la matriu ampliada, 𝐴 i 𝐴’, són les següents: 1 𝑘 1 3 + 𝑘 || 𝑘 1 1 4 ⏟ 1 3 1 5 ⏟ 𝐴 ( ) 𝐴′ Calculem el determinant de la matriu 𝐴: 1 𝑘 1 |= −𝑘2 + 4𝑘 – 3 = −(𝑘−1)(𝑘−3) | 𝑘 1 1 1 3 1 que s’anul·la per als valors de 𝑘= 1 i 𝑘= 3. Així,  per a 𝑘 ≠ 1 i 𝑘≠3, el determinant de 𝐴 no s’anul·la. Aleshores, 𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴’) = 3, que també coincideix amb el número d’incògnites, i es tracta d’un sistema compatible determinat.  per a 𝑘= 1, tenim el sistema: 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 4 𝑥+ 𝑦 + 𝑧= 4 { 𝑥+ 3𝑦+ 𝑧= 5 Les dues primeres equacions són idèntiques per tant, el 𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴) i el 𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴’) no seran màxims. Calculant rangs tenim que 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴’) = 2 < 3. Tenim 3 incògnites, per tant, és un sistema compatible indeterminat.  per a 𝑘= 3 s’obté el sistema: 𝑥+ 3𝑦+ 𝑧= 6 3𝑥+ 𝑦 + 𝑧= 4 { 𝑥+ 3𝑦+ 𝑧= 5 En aquest cas, la primera i la tercera equació són idèntiques en la part de les incògnites però no en els termes independents, amb això ja podem af […]