PAU Matemàtiques 2017 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 6

6. Sigui la funció . a) Calculeu una primitiva de la funció f(x). [1 punt] b) Calculeu l’àrea limitada per la funció f(x) i l’eix de les abscisses entre les abscisses x = 0 i . [1 punt]

6. Sigui la funció ݂ሺݔሻൌ ୡ୭ୱమ ௫ . a) Calculeu una primitiva de la funció ݂ሺݔሻ. [1 punt] b) Calculeu l’àrea limitada per la funció ݂ሺݔሻ i l’eix de les abscisses entre les గ abscisses ݔൌ0 i ݔൌ ସ . [1 punt] Resolució: a) නsin ݔ െ݀ݐ 1 1 ݐ2 ൌെනݐെ2݀ݐൌ cosଶ ݔ݀ݔൌන cos ݔ൅ܥ ݐ൅ܥൌ La primitiva es quasi immediata o podem assajar el canvi de variable cos ݔൌݐ cos ݔൌݐ െsin ݔ ݀ݔൌ݀ ݐ sin ݔ ݀ݔൌെ݀ݐ Observació: Com que a l’enunciat es demana “una” primitiva, l’exercici es donarà per ben resolt amb o sense la constant d’integració. గ b) La funció sinus és positiva a l’interval [0, ଶ]. Atès que el denominador de la funció està elevat al quadrat, és també positiu en tot l’interval. La funció és, per tant, positiva i l’àrea demanada és: ഏ ഏ ୱ୧୬௫ ଵ ଵ ଵ ଵ రൌ Àrea ൌ ׬ ୡ୭ୱమ ௫݀ݔ ൌ ቘ ୡ୭ୱ௫቙ െ ୡ୭ୱ଴ൌ ൗെ1 ൌ ర ୡ୭ୱഏ ଴ √ଶଶ ଴ ర ଶ ଶି√ଶ ଶ√ଶିଶ ൌ0,414 ݑଶ √ଶെ1 ൌ √ଶൌ ଶ a) 0,25 punts per la formulació del canvi de variable. 0,25 punts per l’aplicació del canvi de variable. 0,25 punts per la integral directa (amb o sense la constan […]