PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Calculeu l’àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de les funcions y = x2, y = 4x2 i y = 9. [2 punts]

4. Calculeu l’àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de les funcions ݕൌݔଶ, ݕൌ4ݔଶ i ݕൌ9. [2 punts] Resolució: Es tracta de l’àrea limitada per dues paràboles que comparteixen el seu vèrtex, el punt (0,0), i la recta horitzontal ݕൌ9. Calculem en quines abscisses del primer quadrant l’horitzontal talla cadascuna de les paràboles. ݔଶൌ9 porta a ݔൌ3. ଽ ଷ 4ݔଶൌ9 porta a ݔൌ൅ට ସൌ ଶ. Per tant l’àrea serà (plantejant la integral de les diferències verticals entre la funció que marca el punt superior de la regió i la funció que marca el punt inferior de la regió) ଷଶ ଷଶ ൗ ଷ ൗ ଷ 3ݔଶ݀ݔ൅ ሺ4ݔଶെݔଶሻ݀ݔ ൅නሺ9 െݔଶሻ݀ݔ නሺ9 െݔଶሻ݀ݔ න ൌන ൌ ଷଶ ଷଶ ଴ ൗ ଴ ൗ ଷ ൗ൅ቆ9ݔെݔଷ ൌ27 8 ൅ሺ27 െ9ሻെ൬27 2 െ9 ଷଶ ൌݔଷ|଴ 8൰ൌ9 ݑଶ. 3 ቇቤ ଷଶ ൗ Observació: La mateixa regió també es pot subdividir en tres diferents regions i calcular l’àrea per separat i operar entre elles. 0,25 punts pel primer punt de tall. 0,25 punts pel segon punt de tall. 0,25 punts pel plantejament de la primera integral. 0,25 punts pel […]