PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 5

5. Siguin r i s les rectes de ℝ3 d’equacions amb α ∈ ℝ. i s: (x, y, z) = (1 + 2α, 3 – α, 4 + 3α), a) Comproveu que els punts mitjans dels segments que tenen un extrem situat sobre la recta r i l’altre extrem situat sobre la recta s formen un pla. [1 punt] b) Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla de l’apartat anterior. [1 punt]

5. Siguin ݎ ݏ ݎ: ଷൌݕൌ i les rectes de d’equacions ସ i ݏ: ሺݔ, ݕ, ݖሻൌሺ1 ൅2ߙ, 3 െߙ, 4 ൅3ߙሻ, amb ߙ∈Թ. a) Comproveu que els punts mitjans dels segments que tenen un extrem situat sobre la recta r i l’altre extrem situat sobre la recta s formen un pla. [1 punt] b) Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma ܣݔ൅ܤݕ൅ܥݖൌܦ) del pla de l’apartat anterior. [1 punt] Resolució: Els punts generals de les rectes ݎ i ݏ són, respectivament, de la forma a) ൌሺ2 ൅3ߣ, ߣ, െ1 ൅4ߣሻ ൌሺ1 ൅2ߙ, 3 െߙ, 4 ൅3ߙሻ. .Calculem l’expressió dels punts mitjans: ൅ܵ ൌ൬3 ൅3ߣ൅2ߙ , 3 ൅ߣെߙ , 3 ൅4ߣ൅3ߙ ܯൌܴ ൰ 2 2 2 2 ൌ൬3 2 , 3 2 , 3 2൰൅ߣ൬3 2 , 1 2 , 4 2൰൅ߙ൬2 2 , െ1 2 , 3 2൰ I podem veure que efectivament formen un pla que és, a partir de l’expressió vectorial ଷ ଷ ଷ anterior, el que passa pel punt ቀ ଶ, ଶ, ଶቁ i té per vectors directors els vectors directors de les dues rectes, és a dir ሺ3,1,4ሻ i ሺ2, െ1,3ሻ. ଷ ଷ ଷ Sabem que és el pla que passa pel punt ቀ ଶ, ଶ, ଶቁ i té per vectors directors els b) vectors directors ሺ3,1,4ሻ i ሺ2, െ1, […]