PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 1

1. Considereu la matriu a) Calculeu el rang de la matriu M en funció dels valors del paràmetre a. [1 punt] b) Discutiu i resoleu el sistema d’equacions lineals segons els valors del paràmetre a. [1 punt]

1. Considereu la matriu ଶ 1ܽܽ ൅1ሻଶ 1 ൅1 ሺܽ ܯൌቌ ቍ, െ1ሻଶ 1 െ1 ሺܽ ∈Թ. per a a) Calculeu el rang de la matriu M en funció dels valors del paràmetre a. [1 punt] b) Discutiu i resoleu el sistema d’equacions lineals ݔ 1 ݕ ܯ൉ቆ ቇൌ൭ 1 ൱, ݖ 1 segons els valors del paràmetre a. [1 punt] Resolució: ଶ 1ܽܽ ൅1ሻଶ 1 ൅1 ሺܽ a) Per a calcular el rang de la matriu ܯൌቌ ቍ aplicarem െ1ሻଶ 1 െ1 ሺܽ transformacions elementals per a triangular la matriu (mètode de Gauss) ଶ ଶ 1ܽܽ 1ܽܽ ሺଵሻ ሺଶሻ ሺܽ ൅1ሻଶ ሺܽ ൅1ሻଶെܽ ଶ ቌ 1 ൅1 ቍ → ቌ 0 1 ቍ → െ1ሻଶ െ1ሻଶെܽ ଶ 1 െ1 ሺܽ 0 െ1 ሺܽ ଶ ଶ 1ܽܽ 1ܽܽ ሺଷሻ → ൭ ൱ ൭ ൱ 0 1 2 ൅1 0 1 2 ൅1 0 െ1 െ2ܽ ൅1 0 0 2 Una vegada hem fet les següents transformacions: (1) A la segona fila restar-li la primera A la tercera fila restar-li la primera (2) Operar a les files segona i tercera (3) A la tercera fila sumar-li la segona Per tant, podem veure que independentment del valor de ܽ, la matriu M és sempre ሺܯሻൌ3. equivalent amb una de triangular amb tres files no nul·les i per tant ݎܽ݊݃ ݔ 1 ݕ El sistema ܯ൉ቆ ቇൌ൭ ൱ t […]