PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 2

2. Considereu el punt A = (1, 2, 3). a) Calculeu el punt simètric del punt A respecte de la recta d’equació r: (x, y, z) = (3 + λ, 1, 3 – λ). [1 punt] b) Calculeu el punt simètric del punt A respecte del pla que té per equació π: x + y + z = 3. [1 punt]

2. Considereu el punt ܣൌሺ1, 2, 3ሻ. a) Calculeu el punt simètric del punt A respecte de la recta d’equació ݎ: ሺݔ, ݕ, ݖሻൌሺ3 ൅ߣ, 1, 3 െߣሻ. [1 punt] b) Calculeu el punt simètric del punt A respecte del pla que té per equació ߨ: ݔ൅ݕ൅ݖൌ3. [1 punt] Resolució: Per a fer el simètric respecte de la recta ݎ construirem primer el pla, diguem-ne a) ߨ′, que talla perpendicularment la recta ݎ i que passa pel punt A. Aquest pla té per vector normal el vector director de ݎ, és a dir ሺ1,0, െ1ሻ. Per tant és un pla d’equació ݔെݖൌܦ i si ha de passar per A, tindrem 1 െ3 ൌܦ, o sigui ܦൌെ2. Per tant el pla perpendicular té equació ߨᇱ: ݔെݖൌെ2. Calculem el punt intersecció, diguem-ne B, del pla amb la recta, el que seria el punt projecció del punt A sobre la recta ݎ, substituint l’equació paràmetrica de la recta en l’equació del pla. 3 ൅ߣെሺ3 െߣሻൌെ2 D’on tenim ߣൌെ1 i per tant ܤൌሺ2,1,4ሻ. Així el punt simètric del punt A respecte de la recta, diguem-ne ܣ′, l’obtindrem fent ሬሬሬሬሬԦ ൌሺ1,2,3ሻ൅2൫ሺ2,1,4ሻെሺ1,2,3ሻ൯ൌሺ1,2,3ሻ […]