PAU Matemàtiques 2014 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Responeu a les qüestions següents: a) Demostreu que si A és una matriu quadrada que satisfà la igualtat A2 = I, on I és la matriu identitat, aleshores A és invertible i A–1 satisfà (A–1)2 = I. [1 punt] b) Calculeu l’expressió general de les matrius de la forma amb b ≠ 0 que satisfan la igualtat A2 = I. [1 punt] Proves d’accés a la universitat Convocatòria 2014 Matemàtiques

6. Responeu a les qüestions següents: a) Demostreu que si A és una matriu quadrada que satisfà la igualtat ܣଶൌܫ, on I és la matriu identitat, aleshores A és invertible i ܣିଵ satisfà ሺܣିଵሻଶൌܫ. [1 punt] b) Calculeu l’expressió general de les matrius de la forma ܣൌቀܾܽܿ 2ቁ amb 0 que satisfan la igualtat ܣଶൌܫ. [1 punt] Resolució: ܣଶൌܫ ho podem reescriure com ܣ൉ܣൌܫ. Això ens diu que quan la matriu A la a) multipliquem per ella mateixa, sigui per la dreta o per l’esquerra, ens dóna la identitat. I això és precisament el que s’ha de complir per tal que A sigui invertible. A més a més, veiem que la seva inversa és ella mateixa, és a dir ܣିଵൌܣ. Essent així, ሺܣିଵሻଶൌ ܣଶൌܫ com voliem demostrar. Observació: Alternativament, que la matriu sigui invertible també es pot demostrar a partir d’aplicar determinants i veure que té determinant no nul. b) S’ha de complir que 2ቁൌቀ1 0 ቀܾܽܿ 2ቁቀܾܽܿ 1ቁ ൅ܾܾܿܽ ൅2ܾܽܿ ൅4 ቁൌቀ1 0 ቀܽܽ 1ቁ ൅2ܾܿܿ 0 Quan igualem terme a terme obtenim el següent sistema d’equacions ൅ܾܿ ൌ 1ܾܽ […]