PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 2

2. La gràfica de la funció és la següent: a) Trobeu el punt de tall, (a, 0), de la funció amb la part positiva de l’eix OX. b) Calculeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de f(x) i l’eix OX en el primer quadrant. [0,5 punts per lʼapartat a; 1,5 punts per lʼapartat b] Sigui A una matriu quadrada d’ordre n de manera que A2 = O, en què O és la matriu

2.- La gràfica de la funció f(x) = x (a,0) (a) Trobeu el punt de tall, (a, 0), de la funció amb la part positiva de l’eix OX . (b) Calculeu l’àrea limitada per la gràfica de f(x) i l’eix OX en el primer quadrant. [0,5 punts per l’apartat a; 1,5 punts per l’apartat b] (a) El paràmetre a és l’abscissa del punt de tall de la corba amb l’eix OX. És a dir, és una de les √ 9 −x2 = 0 , que són x = 0, x = ±3 . Com que ha de ser a > 0, és evident que solucions de l’equació x a = 3 . (b) Per aquest segon apartat, descriurem dues solucions. Solució 1 Z 3 Com que la funció és positiva a l’interval [0, 3], l’àrea buscada és A = f(x) dx. Busquem una primitiva per a la funció f(x), amb el canvi t = 9 −x2, la qual cosa fa que dt = −2x dx . Z √ 9 −x2 dx = −1 9 −x2(−2x)dx = −1 Z Z Z p p f(x) dx = x t dt 2 2 = −(9 −x2)3/2 = −t3/2 . 3 3 Llavors, #3 −(9 −x2)3/2 = −0 + 93/2 " = 27 A = 3 = 9 . 3 3 Evidentment, també es pot realitzar el càlcul sense desfer el canvi al final, sempre que es posin els límits d’inte […]