PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 4

4. Un rectangle és inscrit en el triangle que té els costats en les rectes d’equacions y = x, x + y = 8, y = 0, i té un costat sobre la recta y = 0. Trobeu-ne els vèrtexs perquè la superfície sigui màxima. [2 punts] y = x x + y = 8

4.- Un rectangle està inscrit en el triangle que té els costats en les rectes d’equacions y = 3x , x + y = 6 , y = 0 , i té un costat sobre la recta y = 0 . Trobeu-ne els vèrtexs perquè la superfície sigui màxima. y=x x+y=8 [2 punts] Solució 1 Siguin V1 = (a, 0) i V2 = (b, 0) els vèrtexs del rectangle que es troben a l’eix OX (la recta y = 0), amb a < b . Llavors, el vèrtex que es troba a la recta y = x, és de la forma V4 = (a, a) ; l’altre vèrtex, el que es troba a la recta x + y = 8, és de la forma V3 = (b, 8 −b) . Com que els vèrtexs V3 i V4 han d’estar a la mateixa altura, cal que a = 8 −b . y=x V3 V x+y=8 V V 1 2 La longitud de la base del rectangle és b −a i la seva altura és a = 8 −b . En conseqüència la seva superfície és S = (b −a) · a = (b −8 + b) · (8 −b) = −2b2 + 24b −64 . Per trobar el màxim, derivem la funció superfície i igualem la derivada a zero. S′(b) = 24 −4b ; 24 −4b = 0 =⇒b = 6 =⇒a = 2 . Podem comprovar que el valor b = 6 correspon a un màxim utilitzant la segona d […]