PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

3. nuŀla (la formada completament per zeros). a) Comproveu que (A + In)2 = 2A + In. b) Comproveu que les matrius B = In – A i C = A + In són l’una inversa de l’altra. [1 punt per cada apartat]

3.- Sigui A una matriu quadrada d’ordre n de manera que A2 = O, essent O la matriu nul·la (la formada completament per zeros). (a) Comproveu que (A + In)2 = 2A + In . (b) Comproveu que les matrius B = In −A i C = A + In són l’una inversa de l’altra. [1 punt per cada apartat] Solució (a) Tenim que (A + In)2 = (A + In)(A + In) = A2 + A + A + In = O + 2A + In = 2A + In . S’ha utilitzat la propietat distributiva del producte de matrius. (b) Per comprovar que B i C són l’una inversa de l’altra, efectuarem els dos productes possibles entre elles. Ambdós productes han de donar la identitat. BC = (In −A)(A + In) = InA + InIn −AA −AIn = A + In −A2 −A = In −O = In , CB = (A + In)(In −A) = AIn −AA + InIn −InA = A −A2 + In −A = −O + In = In , tal com volíem. Notes: • De què A2 = O, no se’n pot deduir que la matriu A és la matriu nul·la. Considerar A = O és un error molt greu. • Si s’utilitza la fórmula (A + In)2 = A2 + 2AIn + I2 n (que és incorrecta el general), cal justificar que les matrius A i I […]