PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

Siguin π: x – 3y + 2z = 1 i 6. . Estudieu-ne la posició relativa segons el valor del paràmetre m. [2 punts]

6.- Siguin π: x −3y + 2z = 1 i r : 2x −y + mz = 1 . Estudieu-ne la posició relativa segons el valor del paràmetre m . Solució 1 Comencem buscant un vector normal o característic, vπ , del pla π i un vector director, vr , de la recta r . i j k vπ = (1, −3, 2) ; vr = 3 1 0 = (m, −3m, −5) . 2 −1 m Comprovem si aquests dos vectors són perpendiculars (condició perquè el pla i la recta siguin paral·lels o perquè la recta estigui continguda al pla) per algun valor del paràmetre. (1, −3, 2) · (m, −3m, −5) = 10m −10 = 0 =⇒m = 1 . Per m̸ = 1 , el pla i la recta es tallen. Quan m = 1, escollim qualsevol punt de la recta i mirem si compleix l’equació del pla. Per exemple, per x = 0 obtenim que y = 1 i −y + z = 1; és a dir, y = 1 i z = 2 . Aquest punt és el P = (0, 1, 2) . Llavors, com que x −3y + 2z = 0 −3 + 4 = 1 , el punt és del pla i, per tant, r ⊂π . Solució 2 Estudiem el caràcter del sistema format per l’equació del pla i les dues equacions de la recta. Si el sistema és compatible determinat […]