PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

1. Donats els plans π1:3x+y−2z+15=0 i π2:x+y+2z−103=0, a) Comproveu que són perpendiculars. b) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) del pla perpendicular a π1 i π2, que passa pel punt P=(1, 3, 2). [1 punt per cada apartat]

1.- Donats els plans π1: 3x + y −2z + 15 = 0 i π2: x + y + 2z −103 = 0, (a) Comproveu que són perpendiculars. (b) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que és perpendicular a π1 i π2, passant pel punt P = (1, 3, 2) . [1 punt per cada apartat] Solució (a) Dos plans són perpendiculars si ho són els seus vectors normals. Aquests vectors normals són, respectivament, v1 = (3, 1, −2) i v2 = (1, 1, 2). Com que v1 · v2 = (3, 1, −2) · (1, 1, 2) = 3 + 1 −4 = 0 , els plans són perpendiculars. (b) Podem trobar el vector normal al pla buscat fent el producte vectorial dels vectors normals dels plans π1 i π2. i j k v3 = 3 1 −2 = 4i −8j + 2k = (4, −8, 2) . 1 1 2 L’equació del pla π amb vector normal vπ = (A, B, C), passant pel punt P = (x0, y0, z0) és A(x −x0) + B(y −y0) + C(z −z0) = 0 . En el nostre cas, ens queda 4(x −1) −8(y −3) + 2(z −2) = 0 , és a dir, 4x −8y + 2z + 16 = 0 o, simplificat, 2x −4y + z + 8 = 0 . √ 9 −x2 és la següent: