PAU Matemàtiques 2007 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 4

La funció derivada F(x) d’una funció contínua F: R R que passa per l’origen és 4. una funció a trossos formada per les semirectes del dibuix. Escriviu l’expressió de la funció F(x) com una funció a trossos. [2 punts]

→ 4.- La funció derivada '( ) x d’una funció contínua : que passa per l’origen és \ \ F F una funció a trossos formada per les semirectes del dibuix . Escriviu l’expressió de la funció F(x) com una funció a trossos. La derivada de la funció F(x) es pot expressar com ⎧ − < 1 si 2 x x '( ) = ⎨ x , F x ≤ 1 si 2 ⎩ ja que la primera branca és una recta de pendent 1 que passa per (1,0) i la segona és una = 2 funció constant. El punt s’ha d’incorporar a una i només una de les dues branques. Ara x bé, per continuïtat es pot escollir la que es vulgui. ⎧ 2 x ⎪ − + si < 2 x C x = ⎨ Llavors, integrant, ( ) . F x 2 ⎪ + ≤ si 2 ⎩ x K x = 0 Com que la funció passa per l’origen, la primera constant indeterminada val . Llavors, C donat que la funció ha de ser contínua a = 2 , − 2 = 2 + → = − 2 i la funció és x K K ⎧ 2 x ⎪ − < si 2 x x ( ) = ⎨ . F x 2 ⎪ − ≤ 2 si 2 ⎩ x x PUNTUACIÓ: 0.5 punts per l’expressió de F’(x). 0.5 punts per la integració. 0.5 punts per l’obtenció de C. 0.5 punts per l’obtenció de K […]