PAU Matemàtiques 2007 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 3

3. Considereu la matriu . Trobeu els valors de p i q que fan que es verifi- qui A2 = A. En aquest cas, raoneu sense calcular què val A10. [2 punts] La funció derivada F(x) d’una funció contínua F: R R que passa per l’origen és

= ⎜ . Trobeu els valors de p i q que fan que es verifiqui 3.- Considereu la matriu A ⎟ ⎝ p q ⎠ 2 10 = . En aquest cas, raoneu sense calcular què val . A A A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 0 1 p q 0 1 2 = ⋅ = ⋅ = = ⎜ ⎟ A A A ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ p q ⎠⎝ p q ⎠ ⎝ p q ⎠ ⎝ pq p q ⎠ = 0 = 1 i la igualtat es compleix quan i . p q 2 3 2 = = ⋅ = ⋅ = Si la matriu verifica , llavors, A . Procedint de manera A A A A A A A successiva, es pot veure que qualsevol altra potència de la matriu A també val A. 1 punt per trobar els valors de p i q. 10 = 1 punt per justificar que A . No es demana fer una demostració per inducció o similar. A Simplement que justifiquin aquest resultat sense fer càlculs. → x d’una funció contínua : que passa per l’origen és