PAU Matemàtiques 2007 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Busqueu els extrems relatius i els punts de tall amb els eixos, i feu una representació aproximada de la corba d’equació y = x4 – x2. A continuació, calculeu l’àrea del recinte tancat per aquesta corba i l’eix d’abscisses. [1 punt pel càlcul dextrems, els punts de tall i la gràfica; 1 punt pel càlcul de làrea]

3.- Buscant els seus extrems relatius i els punts de tall amb els eixos, feu una = − 4 2 representació aproximada de la corba d’equació x . A continuació, calculeu y x l’àrea del recinte tancat per aquesta corba i l’eix de les abscisses. 4 2 3 = − = − Si ( ) '( ) 4 2 x . x , f x x f x x 1 1 3 2 − = → − = → = − Extrems relatius: 4 2 0 2 (2 1) 0 0, , . x x x x x 2 2 = − < > − > Com ''( ) 12 2 , ''(0) 0 ''(1/ 2) 0 i ''( 1/ 2) 0 . Llavors, el punt (0,0) és un , f x x f f f màxim relatiu i ⎛ ⎞ , ⎛ ⎞ 1 1 1 1 − − − , , són mínims relatius. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 2 2 2 − = → − = → = − − Punts de tall: 0 ( 1) 0 0,1, 1, (0,0), (1,0) i ( 1,0) . x x x x x Gràfica: L’àrea demanada s’obté de calcular ⎡ ⎤ 5 3 4 1 x x ∫ 4 2 2 = − − = − − = ( ) . ⎢ ⎥ A x x dx u − 1 5 3 15 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − 1 PUNTUACIÓ: 0.5 punts pels extrems i els punts de tall. 0.5 punts per la representació gràfica. 0.5 punts pel càlcul de la primitiva. 0.5 punts per l’aplicació correcta de la regla de Barrow.