PAU Matemàtiques 2007 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 2

2. Donada la matriu següent dependent d’un paràmetre m: a) Estudieu-ne el rang segons els valors de m. b) Digueu quina és la posició relativa dels plans 1: x + y + 2z = 2, 2: 2x + my + 2mz = 2 + m i 3: mx + 2y + (2 + m)z = 0, segons els valors de m. [1 punt cada apartat]

2.- Donada la matriu següent depenent d’un paràmetre m, ⎛ 1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 2 2 A m m ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 + m m ⎝ ⎠ a) Estudieu el seu rang segons els valors de m. π + + = , b) Digueu quina és la posició relativa dels plans 1 : 2 2 x y z π 2 : 2 + + 2 = 2 + i π 3 : + 2 + (2 + ) = 0 , segons els valors de m. x my mz m mx y m z a) Esglaonant, ⎛ 1 1 2 ⎞ ⎛ 1 1 2 ⎞ ⎛ 1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − 2 2 ∼ 0 2 2 4 ∼ 0 2 2 4 m m m m m m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − − − 2 2 0 2 2 0 0 2 m m m m m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≠2 = 2 Llavors, el rang de la matriu es 3 si i 1 si . m m L’obtenció del valor de m que discrimina també es pot fer igualant a zero el determinant de la matriu. 1 1 2 2 2 = − + = − = → = 2 2 4 4 ( 2) 0 2 . m m m m m m + 2 2 m m = 2 A partir d’aquí cal esbrinar quin rang té la matriu quan m b) Val la pena observar que la matriu de l’apartat anterior és la matriu de coeficients dels ≠2 plans donats. Així, si , el sistema és compatible determinat; per tant, els plans es tallen m = 2 π + + = , π + + = en un punt […]