PAU Matemàtiques 2007 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 5

PROBLEMES 5. Considereu la recta d’equació . a) Expresseu el quadrat de la distància d’un punt qualsevol (x, y, z) de la recta al punt P = (1, 2, 5) com una funció de la coordenada x. b) Trobeu quin valor de x fa mínima aquesta funció, deduïu quin punt Q de la recta és el més proper a P i calculeu la distància del punt a la recta. c) Escriviu l’equació de la recta que passa per P i Q i comproveu que és perpen- dicular a r. [1,5 punts lapartat a; 1,5 punts lapartat b; 1 punt lapartat c]

PROBLEMES − − 2 1 y z = = : 5.- Considereu la recta d’equació . r x 2 2 a) Expresseu el quadrat de la distància d’un punt qualsevol ( , , ) x y z de la recta al punt = (1,2,5) com una funció de la coordenada x. P b) Trobeu quin valor de x fa mínima aquesta funció, deduïu d’aquí quin punt Q de la recta és el més proper a P i calculeu la distància del punt a la recta. c) Escriviu l’equació de la recta que passa per P i Q i comproveu que és perpendicular a r. 2 = − 2 + − 2 + − 2 a) La magnitud demanada és ( 1) ( 2) ( 5) . Llavors, tenint en compte d x y z que un punt qualsevol de la recta verifica − 2 y = → = + 2 2, x y x − 1 z = → = + 2 1, x z x la funció de x demanada és = − 2 + 2 + − 2 = 2 − + ( ) ( 1) (2 ) (2 4) 9 18 17. f x x x x x x = − x = x = b) Com que '( ) 18 18 i ''( ) 18 1 , la derivada s’anul·la quan i es tracta f x x f d’un mínim. Tenint en compte que quan la funció es mínima, la distància de P a la recta també ho és, el punt Q més proper a P és (1,4,3) . = Donat que (1) 8 , […]