PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 2

2. Una inversora vol invertir el seu capital en un banc especialitzat en criptomonedes que ofereix diferents dipòsits amb els interessos següents: — BTC (bitcoin): 15 % anual. — ETH (ether): 10 % anual. — LNK (link): 13 % anual. La inversora vol invertir la mateixa quantitat en bitcoins que entre les altres dues crip- tomonedes juntes i vol obtenir un rendiment anual global d’un 13 %. a) Quina ha de ser la relació entre la inversió en ethers i en links? [1,25 punts] b) Si sabem que la inversió total serà de 150.000 €, quina quantitat invertirà en cada criptomoneda? [1,25 punts]

a) Anomenem 𝑥, 𝑦 i 𝑧 la inversió en BTC, ETH i LNK, respectivament. Obtenim les dues equacions següents 𝑥= 𝑦+ 𝑧 1,15𝑥+ 1,1𝑦+ 1,13𝑧= 1,13(𝑥+ 𝑦+ 𝑧) { Si substituïm la primera igualtat en la segona equació obtenim 1,15(𝑦+ 𝑧) + 1,1𝑦+ 1,13𝑧= 1,13(𝑦+ 𝑧+ 𝑦+ 𝑧) 2,25𝑦+ 2,28𝑧= 2,26𝑦+ 2,26𝑧; −0,01𝑦= −0,02𝑧; 𝑦= 2𝑧 Per tant, la inversió en ETH ha de ser el doble que en LNK. b) Si hi afegim la nova condició, obtenim el sistema 𝑥= 𝑦+ 𝑧 1,15𝑥+ 1,1𝑦+ 1,13𝑧= 1,13(𝑥+ 𝑦+ 𝑧) { 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 150000 Si substituïm la primera relació en la tercera equació, obtenim 𝑦+ 𝑧+ 𝑦+ 𝑧= 150000; 2𝑦+ 2𝑧= 150000; 𝑦+ 𝑧= 75000 Si fem servir la relació obtinguda a l’apartat a), obtenim 2𝑧+ 𝑧= 75000; 3𝑧= 75000; 𝑧= 75000 = 25000; 𝑦= 2𝑧= 2 · 25000 = 50000; 𝑥= 𝑦+ 𝑧= 50000 + 25000 = 75000 Per tant, la inversió és de 75000 € en BTC, 50000 € en ETH i 25000 € en LNK. a) Assignació d’incògnites: 0,25 punts. Plantejament: 0,25 punts cada equació correcta. Trobar la relació entre ETH i LNK: 0,5 punts. b) Escriure la nova equació: 0,25 punts. […]