PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Una empresa d’autobusos afirma que fa el trajecte entre l’aeroport i el centre de la ciutat en 30 minuts. Hem obtingut una mostra del temps, en minuts, que ha trigat en 10 trajec- tes escollits a l’atzar: 33, 29, 28, 31, 34, 35, 32, 29, 37, 35 a) Construïu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del temps de trajecte, suposant que aquest temps segueix una distribució normal amb una desviació típica de 2 minuts. Nota: Recordeu que, si Z segueix una distribució normal (0, 1), P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95. Recordeu també que l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1) quan la variància σ 2 és coneguda és donat per . [1,5 punts] b) A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior, podem afirmar que la informació que proporciona l’empresa d’autobusos és errònia? Justifiqueu la resposta. [1 punt]

a) Tenim una mostra de mida 𝑛= 10. Calculem l’estimació puntual de la mitjana a partir de la mostra i obtenim que 𝑥̅ = 32,3 D’altra banda, sabem que la desviació típica és 𝜎= 2. L’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança 𝛾𝜖(0,1), quan la variància 𝜎2 és coneguda s’obté a partir de la fórmula 𝜎 𝜎 √𝑛 ], [ 𝑥̅ −𝑧𝛾 √𝑛, 𝑥̅ + 𝑧𝛾 en què, si 𝑍 segueix una distribució normal (0,1), 𝑃(−𝑧𝛾≤𝑍≤𝑧𝛾) = 𝛾. Per tant, tenim que els extrems de l’interval són √𝑛= 32,3 −1,96 2 𝜎 = 31,0604 𝑥̅ −𝑧𝛾 √10 i √𝑛= 32,3 + 1,96 2 𝜎 = 33,5396 𝑥̅ + 𝑧𝛾 √10 L’interval de confiança demanat és [31′0604 , 33′5396]. b) A partir del resultat anterior podem afirmar, amb una confiança del 95%, que la informació que proporciona l’empresa és errònia. Ja que, a partir de la mostra, amb una confiança del 95%, la mitjana hauria d’estar entre 31,0604 i 33,5396 minuts i, per tant, superior als 30 minuts que indica l’empresa. a) Càlcul de la mitjana: 0,5 punts. Fórmula de l’interval de confiança per a la mitjana: […]