PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Un cinema disposa de dues sales en les quals es projecten dues peŀlícules diferents. La taula següent mostra el nombre de persones que han assistit a la projecció de cada peŀlí- cula la darrera setmana, agrupades per franges d’edat: Franja d’edat Peŀlícula de la sala 1 Peŀlícula de la sala 2 Menys de 18 anys 122 620 18-65 anys 930 433 Més de 65 anys 384 281 La informació de la taula anterior es registra amb la forma matricial . a) Considerant la matriu , calculeu el producte A · B. Expliqueu el significat de la matriu obtinguda. Sabem que una entrada per a persones de menys de 18 anys costa 5 €, una entrada per a adults d’entre 18 i 65 anys costa 8,5 € i una entrada per a adults de més de 65 anys costa 6,5 €. Trobeu una matriu C = (a b c) de manera que el producte C · A · B doni els ingressos setmanals totals obtinguts per la venda d’entrades, i calculeu els ingressos corresponents a aquesta setmana. [1,5 punts] b) Al cap d’uns mesos, el registre setmanal és donat per la matriu , però hi ha un valor que s’ha esborrat, el del nombre de persones entre 18 i 65 anys que han assistit a la segona peŀlícula, i l’hem denotat per x. Calculeu el valor de x sabent que els ingressos totals d’aquella setmana van ser de 12.076 €. [1 punt]

a) Fem el producte 122 620 742 ) · (1 ). 𝐴· 𝐵= ( 930 433 1) = ( 1363 384 281 665 Clarament, la primera fila correspon al nombre total de menors de 18 anys que han anat al cinema aquella setmana, la segona al total de persones entre 18 i 65 anys i la tercera al total de majors de 65 anys. Per la propietat associativa del producte de matrius, només cal trobar una matriu 𝐶= (𝑎 𝑏 𝑐) que multiplicada pel producte 𝐴· 𝐵, que acabem de calcular, ens doni els ingressos totals per la venda d’entrades. Observem que 742 ) = 742 · 𝑎+ 1363 · 𝑏+ 665 · 𝑐 𝐶· 𝐴· 𝐵= 𝐶· (𝐴· 𝐵) = (𝑎 𝑏 𝑐) · ( 1363 665 I, per tant, per obtenir els ingressos totals és suficient definir 𝐶= (𝑎 𝑏 𝑐) = (5 8,5 6,5). Els ingressos totals de la setmana són 19618 euros. b) Comencem calculant el producte C·D·B 84 23 107 ) · (1 𝐶· 𝐷· 𝐵= (5 8,5 6,5) ( 1) = (5 8,5 6,5) ( ) 338 𝑥 338 + 𝑥 256 408 664 = 7724 + 8,5𝑥 Sabem, d’altra banda, que el total d’ingressos ha estat de 12076 euros. Per tant, 7724 + 8,5𝑥= 12076 →8,5 𝑥= 4352 →𝑥= 512. Així […]