PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 1

Qüestions Suma de notes parcials Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1. Els beneficis o pèrdues diaris d’una nova empresa durant el primer any de funcionament són donats per la funció B(x) = –x2 + 260x – 12.000, en què x representa el dia des de l’ini- ci de l’activitat de l’empresa. a) Quin benefici o pèrdua va tenir l’empresa el dia 45? Quins dies va obtenir un benefici de 4.000 €? [1 punt] b) Calculeu quin dia l’empresa va obtenir el benefici màxim i quin va ser aquest valor. Calculeu també entre quins dies l’empresa no va tenir pèrdues. [1,5 punts]

1. a) Primer, ens demanen el valor de la funció el dia 45: 𝐵(45) = −2.325, per tant aquest dia l’empresa té unes pèrdues de 2.325 euros. Hem de saber ara quins dies l’empresa ha tingut uns beneficis de 4000 euros. Per tant, hem de trobar els valors de 𝑥 per als quals 𝐵(𝑥) = 4000 →−𝑥2 + 260𝑥−12000 = 4000 →𝑥2 −260𝑥+ 16000 = 0 260±√3600 →𝑥= que té dues solucions, 𝑥= 100 i 𝑥 = 160. Per tant, els dies 100 i 160 ha tingut un benefici de 4000 €. b) Per trobar el màxim, comencem calculant la derivada de la funció que ens dona els beneficis 𝐵’(𝑥) = −2𝑥+ 260 Igualant-la a zero, trobem un extrem relatiu en 𝑥= 130. Observem que en aquest punt hi ha un màxim perquè la funció 𝐵’(𝑥) és positiva per a valors inferiors a 𝑥= 130 i, per tant, la funció 𝐵(𝑥) és creixent, i 𝐵’(𝑥) és negativa per a valors superiors a 𝑥= 130 i, per tant, 𝐵(𝑥) és decreixent. Els beneficis aquest dia seran de 𝐵(130) = 4900 euros. Per tant, el dia 130 l’empresa té el benefici màxim i aquest benefici és de 4900 euros. Sabem que […]