PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2025 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

Exercici 1 Volem allotjar 10 persones en un hotel que té habitacions individuals, dobles i triples. Sabem que si reservem sis habitacions individuals i dues de dobles, hem de pagar 702 €, i si en reservem una d’individual i tres de triples, hem de pagar el mateix que si en reservem dues de dobles i dues de triples. a) Determineu els preus de l’habitació doble i de la triple en funció del preu de la indi- vidual. [1,25 punts] b) Si el preu de l’habitació triple és el doble del preu de la individual, quin és el preu de cada tipus d’habitació? De les tres opcions plantejades per a allotjar les 10 persones, amb quina obtenim el preu més baix i quin és aquest preu? [1,25 punts]

1. a) Si anomenem respectivament 𝑥, 𝑦 i 𝑧 els preus de les habitacions individual, doble i triple, podem plantejar el sistema següent: { 6𝑥+ 2𝑦= 702 𝑥+ 3𝑧= 2𝑦+ 2𝑧 Obtenim, per tant, {6𝑥+ 2𝑦= 702 𝑥−2𝑦+ 𝑧= 0 →{𝑦= 351 −3𝑥 𝑧= 2𝑦−𝑥 →{𝑦= 351 −3𝑥 𝑧= 702 −7𝑥 Per tant, si anomenem 𝑥 el preu de l’habitació individual, l’habitació doble valdrà 351 −3𝑥 i la triple 702 −7𝑥. b) Amb la nova informació sabem que 𝑧= 2𝑥. Per tant, igualant al valor de 𝑧 que hem trobat abans, obtenim que 2𝑥= 702 −7𝑥, és a dir, 9𝑥= 702 i, per tant, el preu de l’habitació individual serà 𝑥= 78 euros. L’habitació doble valdrà 𝑦= 351 −3 · 78 = 117 euros i la triple 𝑧= 2 · 78 = 156 euros. Sabíem que si reservàvem 6 habitacions individuals i dues de dobles havíem de pagar 702 euros. Si en reservem una d’individual i tres de triples haurem de pagar 78 + 3 · 156 = 546 euros. Si en reservem dues de dobles i dues de triples haurem de pagar també 2 · 117 + 2 · 156 = 546 euros. Per tant, entre aquestes opcions, el preu mínim per all […]