PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 3

3. L’Ona vol construir una capsa de cartró de base quadrada i oberta (sense tapa) per a posar-hi retoladors i colors, com la de la figura següent: La capsa ha de tenir un volum de 4 litres. a) Expresseu l’alçària de la capsa (y) en funció de la longitud del costat de la base (x). [0,5 punts] b) L’Ona vol fer servir el mínim de cartró possible per a construir la capsa. Quants cen- tímetres ha de mesurar el costat de la base (x) perquè la superfície de la capsa sigui mínima? Quants centímetres ha de mesurar l’alçària (y)? Quina quantitat de cartró farà servir per a construir la capsa? [2 punts]

a) Si el volum ha de ser de 4 litres = 4000 𝑐𝑚3 tenim que 𝑥2 · 𝑦= 4000 i, per tant, 4000 𝑥2 . 𝑦= b) La superfície de la caixa en 𝑐𝑚2 ve donada per l’expressió 𝑆(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥· 𝑦= 𝑥2 + 4𝑥· 4000 𝑥2 = 𝑥2 + 16000 𝑥 Si calculem la derivada, obtenim 𝑆′(𝑥) = 2𝑥−16000 𝑥2 Trobem els extrems relatius igualant a zero 2𝑥−16000 = 0 →𝑥3 = 8000 →𝑥= 20 𝑥2 Comprovem que es tracta d’un mínim perquè la derivada 𝑆’(𝑥) és negativa per a valors inferiors a 𝑥= 20, i, per tant, 𝑆(𝑥) és decreixent, mentre que 𝑆’(𝑥) és positiva per a valors superiors a 𝑥= 20 i, per tant, 𝑆(𝑥) és creixent. Hem obtingut, per tant, que el costat de la base 𝑥 ha de mesurar 20 cm. L’alçària de la caixa serà de 𝑦= 4000 𝑥2 = 4000 202 = 10 𝑐𝑚. Finalment, la quantitat de cartró és la superfície de la caixa amb aquests valors 𝑆= 202 + 16000 = 400 + 800 = 1200 𝑐𝑚2. a) Trobar l’expressió algebraica: 0,5 punts. b) Trobar la funció que cal optimitzar: 0,25 punts. Càlcul de la derivada: 0,5 punts. Obtenció del punt on s’assoleix el mínim: 0,25 […]