PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 5

5. Un centre esportiu té dues zones: la zona de la piscina (A1) i la zona del gimnàs (A2). Els abonats han de triar a quina de les dues zones (només una) volen accedir i també si volen anar al centre esportiu en horari de matí (opció B1) o en horari de tarda (opció B2). Si seleccionem un abonat del centre a l’atzar, sabem que la probabilitat que utilitzi la zona de la piscina és de 0,4 i la probabilitat que utilitzi el gimnàs és de 0,6. D’altra banda, la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza la zona de la piscina, és de 0,55, mentre que la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza el gimnàs, és de 0,45. a) Quina és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí? [1,25 punts] b) Si sabem que està abonat en horari de matí, quina és la probabilitat que utilitzi la zona de piscina? [1,25 punts]

Considerem els esdeveniments: 𝐴1 = l’abonat utilitza la zona de piscina 𝐴2 = l’abonat utilitza el gimnàs 𝐵1 = l’individu està abonat en horari de matí 𝐵2 = l’individu està abonat en horari de tarda Sabem que 𝑃(𝐴1) = 0,4 i que 𝑃(𝐴2) = 0,6. Sabem també que 𝑃(𝐵1|𝐴1) = 0,55 i que 𝑃(𝐵1|𝐴2) = 0,45. a) Aplicant la fórmula de les probabilitats totals tenim que 𝑃(𝐵1) = 𝑃(𝐵1 ∩𝐴1) + 𝑃(𝐵1 ∩𝐴2) = 𝑃(𝐵1|𝐴1)𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐵1|𝐴2)𝑃(𝐴2). Per tant, 𝑃(𝐵1) = 0,55 · 0,4 + 0,45 · 0,6 = 0,49. La probabilitat que estigui abonat en horari de matí és de 0,49. b) Aplicant la fórmula de la probabilitat condicionada i la fórmula de Bayes, 𝑃(𝐴1|𝐵1) = 𝑃(𝐴1 ∩𝐵1) = 𝑃(𝐵1|𝐴1)𝑃(𝐴1) = 0,55 · 0,4 = 0,4490. 𝑃(𝐵1) 𝑃(𝐵1) 0,49 La probabilitat que utilitzi la zona de la piscina si sabem que està abonat en horari de matí és de 0,4490. a) Assignació correcta d’esdeveniments i interpretació correcta de les probabilitats de l’enunciat: 0,5 punts. Fórmula de les probabilitats totals: 0,5 punts. Resultat de l’apartat: 0,25 punts. b) Plantej […]