PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 2

2. Una empresa de mobles disposa de tres fàbriques que produeixen un model de sofà determinat. El mes passat es van fabricar un total de 1.260 unitats d’aquest model i sabem que la segona fàbrica va produir tants sofàs com les altres dues juntes. a) Amb aquesta informació, podem determinar quants sofàs va produir cadascuna de les fàbriques? Justifiqueu la resposta. A continuació, calculeu, només amb aquesta informació, quants sofàs va produir la segona fàbrica. [1,25 punts] b) També sabem que un 10 % dels sofàs produïts per la primera fàbrica, un 30 % dels produïts per la segona i un 20 % dels produïts per la tercera eren de color gris, i que en total es van fabricar 284 sofàs d’aquest color. Trobeu quants sofàs va produir cada fàbrica el mes passat. [1,25 punts]

2. Anomenarem 𝑥, 𝑦 i 𝑧 la producció de sofàs del mes passat de la primera, segona i tercera fàbrica, respectivament. Tenim el sistema d’equacions següent: {𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 1260 𝑥−𝑦+ 𝑧= 0 Utilitzant el mètode de Gauss en l’ordre 𝑥, 𝑦, 𝑧, s’obté el sistema ( 1 1 1 1|1260 ) →(1 1 1 0|1260 1260) 1 −1 0 0 2 Es tracta d’un sistema compatible indeterminat, ja que només tenim dues equacions i en canvi tenim tres incògnites, i, per tant, no es pot determinar quants sofàs van produir cadascuna de les tres fàbriques. Tanmateix, observem que podem trobar la producció de la segona fàbrica a partir de la segona equació, i obtenim 𝑦= 630 sofàs. b) Ara tenim el sistema d’equacions següent: 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 1260 𝑥−𝑦+ 𝑧= 0 { 0,1 𝑥+ 0,3 𝑦+ 0,2 𝑧= 284 Fem un canvi entre la primera i la segona fila i multipliquem l’última fila per 10. S’obté: 𝑥−𝑦+ 𝑧= 0 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 1260 { 𝑥+ 3𝑦+ 2𝑧= 2840 Utilitzant el mètode de Gauss, prenent les variables en l’ordre 𝑥, 𝑦, 𝑧, obtenim la matriu 1 −1 1 0 1 −1 1 0 1 −1 1 0 ) →( ) ( | ) →( | | 1 […]