PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Una pagesa contracta un conductor perquè porti un tractor fins a un poble que es troba a 300 km de distància. Sabem que el gasoil que fa servir el tractor costa 1,96 € per litre i que el conductor cobra 14,70 € l’hora. Suposem que el conductor farà tot el trajecte a una velocitat constant i que el consum de gasoil (en litres per hora), en funció de la velocitat x (en kilòmetres per hora), és donat per la funció . a) Calculeu el temps que el conductor trigarà a fer el viatge i el cost total del viatge si el tractor fa tot el recorregut a 40 km/h (la velocitat màxima permesa per a aquest tipus de vehicle). Comproveu que la funció que dona el cost total del viatge en funció de la velocitat del tractor es pot expressar com a . [1,25 punts] b) Calculeu quina és la velocitat que fa que el cost total del viatge sigui mínim. Quin és aquest cost? [1,25 punts]

3. Si el tractor fa el recorregut a 40 km/h obtenim que el temps que trigarà a fer tot 300 el trajecte és de 40 = 7,5 hores. Per tant, el cost total del trajecte sumant les despeses de gasoil i el salari del conductor serà 402 98 ) · 7,5 · 1,96 + 7,5 · 14,70 = 423,75 € (5 + Anem ara a buscar la funció que ens dona el cost en funció de la velocitat, en quilòmetres per hora, 𝑥: 𝐶(𝑥) = (5 + 𝑥2 98) · 300 · 1,96 + 300 𝑥· 14,70 = 7350 + 6𝑥 𝑥 𝑥 b) Per trobar el cost més econòmic cal buscar el mínim de la funció 𝐶(𝑥). Comencem calculant la derivada: 𝐶’(𝑥) = −7350 + 6 𝑥2 Si la igualem a zero obtenim que x=±√7350 = ±35 km/h Descartem la solució negativa perquè no té sentit en el context del problema i observem que la derivada 𝐶’(𝑥) és negativa per a valors inferiors a 𝑥= 35 i, per tant, la funció 𝐶(𝑥) és decreixent, mentre que és positiva per a valors superiors a 𝑥= 35 i, per tant, la funció 𝐶(𝑥) és creixent. Així, doncs, en 𝑥= 35 hi trobem un mínim local. El cost a aquesta velocitat serà de 735 […]