PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Volem saber el percentatge de persones que estarien a favor de la construcció d’un poliesportiu municipal en una població determinada. Prenem una mostra aleatòria de 350 persones, 218 de les quals es manifesten a favor de la proposta i la resta, en contra. a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu. [1 punt] b) Escriviu un interval de confiança del 95 % per al percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu en aquesta població. Nota: Recordeu que, si Z segueix una distribució normal (0, 1), P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95. Recordeu també que, per a mostres grans, l’inter- val de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1) és donat per . [1,5 punts]

6. La mida de la mostra és 𝑛= 350. L’estimació puntual de la proporció de persones que està a favor de la proposta és 𝑝̂ = 218 350 = 0,6229. L’estimació puntual de la proporció de persones a favor de la proposta és de 0,6229, és a dir, un 62,29%. b) Quan la mida de la mostra és gran, l’interval de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança 𝛾𝜖(0,1) s’obté a partir de la fórmula [𝑝̂ −𝑧𝛾√𝑝̂(1 −𝑝̂) , 𝑝̂ + 𝑧𝛾√𝑝̂(1 −𝑝̂) ], 𝑛 𝑛 en què, si 𝑍 segueix una distribució normal (0,1), P(−𝑧𝛾≤𝑍≤𝑧𝛾) = 𝛾. Per tant tenim que els extrems de l’interval són 𝑝̂ −𝑧𝛾√𝑝̂(1 −𝑝̂) = 0,6229 −1,96√0,6229(1 −0,6229) = 0,5721 𝑛 350 i 𝑝̂ + 𝑧𝛾√𝑝̂(1 −𝑝̂) = 0,6229 + 1.96√0,6229(1 −0,6229) = 0,6737 𝑛 350 L’interval de confiança demanat és [57,21% , 67,37%], és a dir, el percentatge de persones que està a favor de la proposta està entre el 57,21% i el 67,37% amb una confiança del 95%. a) Càlcul de la proporció mostral: 0,75 punts. Expressió com a percentatge: 0,25 punts. b) Interpretació correcta de la fórmula […]